пятница, 18 февраля 2011 г.

Свойства аддитивности интеграла.

4. Свойства аддитивности интеграла.
Неналегающие множества - если их границы есть множество нулевой меры.
Если Жорданово множество E - объединение Жордановых множеств E1 и E2 (неналегающих), а функция z = f(x,y) интегрируема на E, то функция интегрируема отдельно по E1 и E2, и SS(E)f(x,y)dxdy = SS(E1)f(x,y)dxdy + SS(E2)f(x,y)dxdy
Доказательство:
f(x,y) = {f^(x,y), где (x,y) принадлежат E; 0, где (x,y) не принадлежат E
XE1(x,y) = {1, (x,y) принадлежат E1; 0, (x,y) не принадлежат E1
XE2(x,y) = {1, (x,y) принадлежат E2; 0, (x,y) не принадлежат E2
XE = XE1(x,y) + XE2(x,y) - XE1nE2 (x,y)
SS(E)f(x,y)dxdy = SS(P)f^(x,y)dxdy = SS(P)f^(x,y)XE(x,y)dxdy = SS(P)f^(x,y)[XE1(x,y) + XE2(x,y) - XE1nE2(x,y)]dxdy = SS(P)f^(x,y)XE1(x,y)dxdy + SS(P)f^(x,y)XE2(x,y)dxdy - SS(P)f^(x,y)XE1nE2(x,y)dxdy = SS(E1)f(x,y)dxdy + SS(E2)f(x,y)dxdy + 0

Комментариев нет:

Отправить комментарий