пятница, 18 февраля 2011 г.

Основной критерий интегрируемости. Достаточное условие интегрируемости.

2. Основной критерий интегрируемости. Достаточное условие интегрируемости.
z = f(x,y) - интегрируема на прямоугольнике P =>
Для любого эпсилон >0 существует разбиение delta (S(верхняя)delta(f) - S(нижняя)delta(f) < эпсилон)
Найдется такое положительно эпсилон для разбиения delta, что верхняя и нижняя сумма Дарбу отличаются меньше, чем на эпсилон.
Достаточное условие интегрируемости:
Если z = f(x,y) непрерывна в P, то она интегрируема на P
Доказательство:
Пусть функция z = f(x,y) ограничена на P, |f(x,y)| <=h
Возьмем эпсилон >0. Но и эпсилон/4h > 0. Сумма площадей прямоугольного покрытия меньше эпсилон/4h, но объединение этих прямоугольников содержит множество меры нуль.
Из множества P вычитаем внутренность
P\int (Объединение прямоугольного покрытия)
z = f(x,y) непрерывна на P\int
эпсилон/2m(P) > 0, значит найдется p > 0 такое, что в любых 2х точках этого множества, находящихся на расстоянии меньше б, значение функции в этих точках отличаются меньше, чем на эпсилон/2m(P).

Комментариев нет:

Отправить комментарий