пятница, 18 февраля 2011 г.

Понятие жорданова множества. Интеграл по жорданову множеству. Достаточное условие интегрируемости.

3. Понятие жорданова множества. Интеграл по жорданову множеству. Достаточное условие интегрируемости.
Множество E принадлежащее R^2 на плоскости называется Жордановым, если оно ограничено, а его границы есть множество нулевых мер.
Граница множество дэE - граница, в любой окрестности которой есть точки как принадлежащие, так и не принадлежащие множеству.
Пусть E1,E2 - Жордановы множества.
Пусть на E принадлежащей R задана функция z=f(x,y), т.е. (x,y)принадлежат E
SS(E)f(x,y)dxdy - ?
Определим:
f(x,y) = {f(x,y), (x,y) принадлежит E
     {0, (x,y) не принадлежит E
Функция f(x,y) продолжили нулем вне множества E
SS(E)f(x,y)dxdy = SS(P)f(x,y)dxdy
Интеграл не зависит от выбора прямоугольника, содержащего E.
Достаточное условие интегрируемости по Жорданову множеству:
Если фунция непрерывна по Жорданову множеству, то она интегрируема по этому множеству.
SS(E)dxdy - мера(площадь) Жорданова множества
Продолжим функцию нулем на (x,y)не принадлежит E.
1) Множество точек разрыва - множество нулевой меры (разрывы только на границе т.е. множестве нулевой меры)
2) Функция ограничена
=> интегрируема
SS(E)dxdy - мера (площадь) Жорданова множества
Особые свойства интегралов по Жорданову множеству:
5. |f(x,y)|<=h, тогда |SS(E)f(x,y)dxdy|<=h * m(E)
Доказательство:
f^(x,y) = {f(x,y), где (x,y) принадлежат E; 0, где (x,y) не принадлежат E.
|SS(E)f(x,y)dxdy| = |SS(P)f^(x,y)dxdy| = |SS(P)f^(x,y) XE(x,y)dxdy| <= SS(P)|f^(x,y)XE(x,y)|dxdy <= h SS(P)XE(x,y)dxdy = h SS(E)dxdy = h*m(e)
6. Интеграл от любой ограниченной функции на множестве нулевой меры равен 0.
|f(x,y)| <= h
SS(E)f(x,y)dxdy = SS(P)f^(x,y)dxdy
e/2h >0
Продолжим стороны каждого прямоугольник до пересечения с P, получим разбиение P
S(верхняя)delta(f^) <= h* e/2h = e/2
S(нижняя)delta(f^) => -h* e/2h = -e/2
SS(E)f(x,y)dxdy = SS(P)f^(x,y)dxdy = 0
7. Если функцию, интегрируемую на Жорданове множестве, изменить на подмножество нулевой меры так, чтобы функция осталась ограничена, то функция останется интегрируемой, и значение интеграла не изменится.
z = f(x,y)
z = #f(x,y)
#f(x,y) = f(x,y) + фи(x,y)
SS фи(x,y)dxdy = 0 - Интеграл по нулевой мере
SS(E)#f(x,y)dxdy = SS(E)f(x,y)dxdy
8. (Неналегающие множества - если их граница есть множество нулевой меры)
Если Жорданово множество E - объединение Жордановых множеств E1 и E2 (неналегающих), а функция z=f(X,y) интегрируемы на E, то функция z=f(x,y) интегрируема отдельно по E1 и E2, и
SS(E) f(x,y)dxdy = SS(E1)f(x,y)dxdy + SS(E2)f(x,y)dxdy

2 комментария: