Основной критерий интегрируемости. Достаточное условие интегрируемости.

2. Основной критерий интегрируемости. Достаточное условие интегрируемости.
z = f(x,y) - интегрируема на прямоугольнике P =>
Для любого эпсилон >0 существует разбиение delta (S(верхняя)delta(f) - S(нижняя)delta(f) < эпсилон)
Найдется такое положительно эпсилон для разбиения delta, что верхняя и нижняя сумма Дарбу отличаются меньше, чем на эпсилон.
Достаточное условие интегрируемости:
Если z = f(x,y) непрерывна в P, то она интегрируема на P
Доказательство:
Пусть функция z = f(x,y) ограничена на P, |f(x,y)| <=h
Возьмем эпсилон >0. Но и эпсилон/4h > 0. Сумма площадей прямоугольного покрытия меньше эпсилон/4h, но объединение этих прямоугольников содержит множество меры нуль.
Из множества P вычитаем внутренность
P\int (Объединение прямоугольного покрытия)
z = f(x,y) непрерывна на P\int
эпсилон/2m(P) > 0, значит найдется p > 0 такое, что в любых 2х точках этого множества, находящихся на расстоянии меньше б, значение функции в этих точках отличаются меньше, чем на эпсилон/2m(P).

Определение двойного интеграла по прямоугольнику.

1. Определение двойного интеграла по прямоугольнику.(суммы Дарбу и их свойства, определение интегрируемости, необходимое условие интегрируемости)
Пусть область интегрирования составляет прямоугольник (рисуешь прямоугольник на Oxy, ставишь границы по x a-b и по y c-d, разбиваешь на клеточки, называешь фигуру P а клеточку одну Pij)
a<=x<=b
c<=y<=d
Разобьем прямоугольник на ровные интервалы, так, чтобы выполнялось
a = x0<x1<..<xn = b
c = y0<y1<..<yn = d
xi - xi-1 = deltaxi
yi - yi-1 = deltayj
Суммой Римана функции f(x,y) над разбиением называется выражение
Summ(i=1 m)Summ(j=1 n) f(ui,vj)deltaxi deltayi, где (ui, vj) - некоторая точка в прямоугольнике.
Двойной интеграл от функции f(x,y) в прямоугольной области определяется как предел суммы Римана, при котором максимальные значения deltaxi и deltayi стремятся к нулю:
SS(P) f(x,y)dxdy = lim(maxdeltaxi->0 maxdeltayi->0) Summ(i=1 m)Summ(j=1 n)f(ui,vj)deltaxi deltayj
Суммы Дарбу:
S(верхняя)delta(f) = Summ(i=1 n)Summ(j=1 m) sup(Pij)f(x,y) deltaxi deltayj,
S(нижняя)delta(f) = Summ(i=1 n)Summ(j=1 m) inf(Pij)f(x,y) deltaxi deltayj.
Свойства:
1. Если функция ограничена сверху, то любая ее верхняя сумма Дарбу - конечное число, если функция не ограничена сверху, то сумма верхняя Дарбу - +inf, тоже самое для нижней
2. S(верхняя)delta(f) >= S(нижняя)delta(f)
3. Пусть есть два разбиения: delta и delta'. При измельчении разбиения верхняя сумма Дарбу не увеличивается, а нижняя не уменьшается.
4. Если разбиения delta и delta' любое, то S(нижняя)delta'(f) <= S(верхняя)delta"(f)
Определение интегрируемости - функция z=f(x,y) интегрируема по прямоугольнику P, если существует I = sup(delta) S(нижняя)delta(f) = inf(delta) S(верхняя)delta(f)
I = SS(P) f(x,y) dxdy
Необходимое условие интегрируемости - ограниченность
z = f(x,y) - интегрируема на P => Для любого эпсилон > 0 найдется delta (S(верхняя)delta(f) - S(нижняя)delta(f) <эпсилон).